Каким образом возможно вырезать/копировать/вставить ячейку компонента dbGrid или stringGrid?

Внутренний (in-place) редактор является защищенным свойством TCustomGrid, поэтому тут придется немного поколдовать. Вы можете сделать приблизительно так:

type
  TMyCustomGrid = class(TCustomGrid)
  public
    property InplaceEditor;
  end;

...

if ActiveControl is TCustomGrid then
  TMyCustomGrid(ActiveControl).InplaceEditor.CopyToClipboard;